n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

admin2020-03-01  45

问题 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是(    )

选项 A、二次型xTAx的负惯性指数为零.
B、存在可逆矩阵P使P一1AP=E.
C、存在n阶矩阵C使A=C一1C.
D、A的伴随矩阵A*与E合同.

答案D

解析 选项A是必要不充分条件.这是因为r(f)=p+q≤n,当q=0时,有r(f)=p≤n.此时有可能p<n,故二次型xTAx不一定是正定二次型.因此矩阵A不一定是正定矩阵.例如f(1,x2,x3)=x12+5x32.选项B是充分不必要条件.
这是因为P一1AP=E表示A与E相似,即A的特征值全是1,此时A是正定的.
但只要A的特征值全大于零就可保证A正定,因此特征值全是1是不必要的.
选项C中的矩阵C没有可逆的条件,因此对于A=CTC不能说A与E合同,也就没有A是正定矩阵的结论.例如显然矩阵不正定.关于选项D,由于A正定正定A*正定A*与E合同所以D是充分必要条件.
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