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  3. n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

admin2020-03-01  58
问题 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是(    )
选项 A、二次型xTAx的负惯性指数为零．
B、存在可逆矩阵P使P一1AP=E．
C、存在n阶矩阵C使A=C一1C．
D、A的伴随矩阵A*与E合同．
答案D
解析 选项A是必要不充分条件．这是因为r(f)=p+q≤n，当q=0时，有r(f)=p≤n．此时有可能p＜n，故二次型xTAx不一定是正定二次型．因此矩阵A不一定是正定矩阵．例如f(1，x2，x3)=x12+5x32．选项B是充分不必要条件．
这是因为P一1AP=E表示A与E相似，即A的特征值全是1，此时A是正定的．
但只要A的特征值全大于零就可保证A正定，因此特征值全是1是不必要的．
选项C中的矩阵C没有可逆的条件，因此对于A=CTC不能说A与E合同，也就没有A是正定矩阵的结论．例如显然矩阵不正定．关于选项D，由于A正定正定A*正定A*与E合同所以D是充分必要条件．
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考研数学二

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