n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

admin2020-03-01 107

问题 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

选项 A、二次型x^TAx的负惯性指数为零．
B、存在可逆矩阵P使P^一1AP=E．
C、存在n阶矩阵C使A=C^一1C．
D、A的伴随矩阵A^*与E合同．

答案D

解析选项A是必要不充分条件．这是因为r(f)=p+q≤n，当q=0时，有r(f)=p≤n．此时有可能p＜n，故二次型x^TAx不一定是正定二次型．因此矩阵A不一定是正定矩阵．例如f(₁，x₂，x₃)=x₁²+5x₃²．选项B是充分不必要条件．
这是因为P^一1AP=E表示A与E相似，即A的特征值全是1，此时A是正定的．
但只要A的特征值全大于零就可保证A正定，因此特征值全是1是不必要的．
选项C中的矩阵C没有可逆的条件，因此对于A=C^TC不能说A与E合同，也就没有A是正定矩阵的结论．例如

显然矩阵不正定．关于选项D，由于A正定

正定A^*正定

A^*与E合同所以D是充分必要条件．

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考研数学二

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