首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证: (Ⅰ)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η; (Ⅱ)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证: (Ⅰ)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η; (Ⅱ)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.
admin
2019-07-10
60
问题
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证:
(Ⅰ)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η;
(Ⅱ)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f
’
(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.
选项
答案
(Ⅰ)由题设,引入辅助函数φ(x)=x-f(x),则φ(x)在[0,1]上连续,由已知条件f(1)=0及f(1/2)=1,知φ(1)=1-f(1)=1>0且[*] ,所以由闭区间上连续函数的介值定理知存在一点η∈(1/2,1),使得φ(n)=0, 即η-f(η)=0,因此存在η∈(1/2,1),使f(η)=η,证毕. (Ⅱ)引入辅助函数,由原函数法将所需证明的等式中的ξ改写为x, 有f
’
(x)-λ[f(x)-x]=1,即f
’
(x)-λf(x)=1-λx. 由一阶线性非齐次微分方程的通解公式得: 所以[f(x)-x]e
-λx
=C,至此可令辅助函数为g(x)=[f(x)-x]e
-λx
=-φ(x)e
-λx
, 由已知条件及(I)中结论,知g(x)也是连续函数, 且g(0)=[f(0)-0]e
0
=0,g(η)=-φ(η)e
-λη
=0. 由罗尔定理知存在一点ξ(0,η),使得g
’
(ξ)=0, 又g
’
(x)=-λe
-λx
[f(x)-x]+e
-λx
[f
’
(x)-1], 所以-λ[f(ξ)-ξ]+f
’
(ξ)-1=0 此即f
’
(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.证毕.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zoN4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f"’(ξ)=3。
设f(x)=其中g(x)是有界函数,则f(x)在x=0处()
利用代换y=u/cosx将方程y"cosx-2y’sinx+3ysinx=ex化简,并求出原方程的通解。
1/4方法一:采用洛必达法则。方法二:将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至x2项,
设函数z=z(x,y)由方程z=e2x-3z+2y确定,则3=_______。
过点(0,1)作曲线L:y=lnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成。求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
设封闭曲线L的极坐标方程为r=cos3θ(-π/6≤θ≤π/6),则L所围平面图形的面积是_______。
已知函数y=y(x)在任意点x处的增量△y=+α,且当△x→0时,α是△x的高阶无穷小,y(0)=π,则y(1)等于()
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn-r+1是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1,其中k1+…+kn-r+1=1。
求曲线xy=x2y在点(1,1)处的切线方程与法线方程.
随机试题
病人喘而胸满闷窒,甚则胸盈仰息,咳嗽多黏腻色白,咯吐不利,兼有呕恶,纳呆,口黏不渴,苔厚腻,脉滑。此属
患者男,81岁。因“带状疱疹”在皮肤科病房住院治疗,该患者患有Ⅱ型糖尿病多年,口服降糖药物控制血糖,无COPD、肝脏疾病等其他慢性病史,2年前头颅CT示:腔隙性脑梗。晚八时许,无明显诱因出现神志不清,之前无明显不适主诉。BP90/60mmHg,HR85
A.急性心包炎B.风湿性心包炎C.扩张型心肌病D.高血压性心脏病E.肥厚型梗阻性心肌病
按照装饰装修专业工程规模标准要求,下列幕墙工程属于中型项目的是()。
下列关于液化石油气加气站的建筑防火要求的说法中,错误的是()。
奈普科技公司系江海市大型股份制企业。市国税局稽查局对奈普科技公司的纳税情况依法实施检查,发现奈普科技公司2007年6月至12月存在未按规定申报纳税的情况。市国税局稽查局根据税收法律、法规和有关规定,作出《税务处理决定书》,责令奈普科技公司补缴税款3260.
关于我国的贷款管理制度,下列错误的说法是()。
某企业2007年12月31日购入—台设备,入账价值为200万元,预计使用寿命为10年,预计净残值为20万元,采用年限平均法计提折旧。2008年12月31日该设备存在减值迹象,经测试预计可收回金额为120万元。2008年12月31日该设备账面价值应为(
商业资本在资本主义经济中的作用表现在()。
Sternrecountsherfour-yearodysseyintotheheartsandmindsofreligiousterrorists.ShetalkstoChristian,JewishandMusli
最新回复
(
0
)