首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证: (Ⅰ)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η; (Ⅱ)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证: (Ⅰ)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η; (Ⅱ)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.
admin
2019-07-10
32
问题
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证:
(Ⅰ)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η;
(Ⅱ)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f
’
(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.
选项
答案
(Ⅰ)由题设,引入辅助函数φ(x)=x-f(x),则φ(x)在[0,1]上连续,由已知条件f(1)=0及f(1/2)=1,知φ(1)=1-f(1)=1>0且[*] ,所以由闭区间上连续函数的介值定理知存在一点η∈(1/2,1),使得φ(n)=0, 即η-f(η)=0,因此存在η∈(1/2,1),使f(η)=η,证毕. (Ⅱ)引入辅助函数,由原函数法将所需证明的等式中的ξ改写为x, 有f
’
(x)-λ[f(x)-x]=1,即f
’
(x)-λf(x)=1-λx. 由一阶线性非齐次微分方程的通解公式得: 所以[f(x)-x]e
-λx
=C,至此可令辅助函数为g(x)=[f(x)-x]e
-λx
=-φ(x)e
-λx
, 由已知条件及(I)中结论,知g(x)也是连续函数, 且g(0)=[f(0)-0]e
0
=0,g(η)=-φ(η)e
-λη
=0. 由罗尔定理知存在一点ξ(0,η),使得g
’
(ξ)=0, 又g
’
(x)=-λe
-λx
[f(x)-x]+e
-λx
[f
’
(x)-1], 所以-λ[f(ξ)-ξ]+f
’
(ξ)-1=0 此即f
’
(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.证毕.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zoN4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设an=3/2∫0n/(n+1)xn-1dx,则极限nan等于()
函数f(x)=在[-π,π]上的第一类间断点是x=()
[*]
设有曲线,过原点作其切线,求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积。
已知函数y=y(x)在任意点x处的增量△y=+α,且当△x→0时,α是△x的高阶无穷小,y(0)=π,则y(1)等于()
设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)单调增加,0≤g(x)≤1,证明:(Ⅰ)0≤∫axg(t)dt≤x-a,x∈[a,b];f(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx。
求曲线xy=x2y在点(1,1)处的切线方程与法线方程.
已知曲线y=y(x)经过点(1,e一1),且在点(x,y)处的切线方程在y轴上的截距为xy,求该曲线方程的表达式.
设A为三阶方阵,A*为A的伴随矩阵,|A|=1/3,求|4A一(3A*)-1|.
设线性方程组(1)求线性方程组(I)的通解;(2)m,n取何值时,方程组(I)与(Ⅱ)有公共非零解;(3)m,n取何值时,方程组(I)与(Ⅱ)同解.
随机试题
患者,女,52岁。颈前结喉右侧肿物3cm×3cm×2cm,质地较硬,表面不光,不能随吞咽而上下移动,同时伴有局部疼痛,音哑,I临床考虑为石瘿。行同位素扫描,其结果多是()
A.木脂素、挥发油、有机酸B.皂苷、黄酮、维生素CC.生物碱、番木鳖苷D.多糖、胡萝卜素、脂肪酸E.挥发油,挥发油中主成分为桉油精/右旋龙脑及右旋樟脑等马钱子的主要化学成分是
影响项目选址的区域因素中,属于自然条件因素的有()
杨女士大学毕业两年,现就职于一事业单位。虽然工作相对稳定,待遇也不错,并且杨女士已经做出了一些成绩,但是她总觉得自己还很年轻,不甘于平淡的生活。看着许多以前的同学在外企做得有声有色,自己也想跳槽试试。并且前几天一家跨国公司已经向她发出了邀请,杨女士更是蠢蠢
安静时最主要的产热器官是()
蚂蚁在从蚁穴回到食物源的途中,会留下一种成为信息素的化学物质。蚂蚁根据信息素的气味,来回于蚁穴和食物源之间,把食物运回蚁穴。当气温达到摄氏45度以上,这种信息素几乎都会不留痕迹地蒸发。撒哈拉沙漠下午的气温都在摄氏45度以上。如果上述断定为真,最能支持以下哪
设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3。求矩阵A的特征值;
数据库概念设计是面向企业或组织中的数据需求的。下列有关概念模型设计的说法中,错误的是()
数据库技术的根本目标是()。
WriteonANSWERSHEETTWOanoteofabout50~60wordsbasedonthefollowingsituation:Kate,oneofyourclassmates,gaveyo
最新回复
(
0
)