设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f’(x)>0。若极限f(2x-a)/(x-a)存在,证明: (Ⅰ)在(a,b)内f(x)>0; (Ⅱ)在(a,b)内存在点ξ,使(b2-a2)/∫abf(x)dx=2ξ/f(ξ); (Ⅲ

admin2018-04-14  58

问题 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f’(x)>0。若极限f(2x-a)/(x-a)存在,证明:
(Ⅰ)在(a,b)内f(x)>0;
(Ⅱ)在(a,b)内存在点ξ,使(b2-a2)/∫abf(x)dx=2ξ/f(ξ);
(Ⅲ)在(a,b)内存在与(Ⅱ)中ξ相异的点η,使f’(η)(b2-a2)=2ξ/(ξ-a)∫abf(x)dx。

选项

答案(Ⅰ)由题设[*]存在,故 [*]f(2x-a)=f(a)=0。 又f’(x)>0,所以f(x)在(a,b)内单调增加,故 f(x)>f(a)=0,x∈(a,b)。 (Ⅱ)设F(x)=x2,g(x)=∫axf(t)dt(a≤x≤b),则g’(x)=f(x)>0(由(Ⅰ)已证得),故F(x),g(x)满足柯西中值定理的条件,因此在(a,b)内存在点ξ,使 [*] 即(b2-a2)/∫abf(x)dx=2ξ/f(ξ)。 (Ⅲ)由题设可知f(a)=0,所以f(ξ)=f(ξ)-f(a),在[a,ξ]上应用拉格朗日中值定理,知在(a,ξ)内存在一点η,使f(ξ)=f’(η)(ξ-a),从而由(Ⅱ)的结论得 [*] 即f’(η)(b2-a2)=2ξ/(ξ-a)∫abf(x)dx。

解析
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