首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f’(x)>0。若极限f(2x-a)/(x-a)存在,证明: (Ⅰ)在(a,b)内f(x)>0; (Ⅱ)在(a,b)内存在点ξ,使(b2-a2)/∫abf(x)dx=2ξ/f(ξ); (Ⅲ
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f’(x)>0。若极限f(2x-a)/(x-a)存在,证明: (Ⅰ)在(a,b)内f(x)>0; (Ⅱ)在(a,b)内存在点ξ,使(b2-a2)/∫abf(x)dx=2ξ/f(ξ); (Ⅲ
admin
2018-04-14
76
问题
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f’(x)>0。若极限
f(2x-a)/(x-a)存在,证明:
(Ⅰ)在(a,b)内f(x)>0;
(Ⅱ)在(a,b)内存在点ξ,使(b
2
-a
2
)/∫
a
b
f(x)dx=2ξ/f(ξ);
(Ⅲ)在(a,b)内存在与(Ⅱ)中ξ相异的点η,使f’(η)(b
2
-a
2
)=2ξ/(ξ-a)∫
a
b
f(x)dx。
选项
答案
(Ⅰ)由题设[*]存在,故 [*]f(2x-a)=f(a)=0。 又f’(x)>0,所以f(x)在(a,b)内单调增加,故 f(x)>f(a)=0,x∈(a,b)。 (Ⅱ)设F(x)=x
2
,g(x)=∫
a
x
f(t)dt(a≤x≤b),则g’(x)=f(x)>0(由(Ⅰ)已证得),故F(x),g(x)满足柯西中值定理的条件,因此在(a,b)内存在点ξ,使 [*] 即(b
2
-a
2
)/∫
a
b
f(x)dx=2ξ/f(ξ)。 (Ⅲ)由题设可知f(a)=0,所以f(ξ)=f(ξ)-f(a),在[a,ξ]上应用拉格朗日中值定理,知在(a,ξ)内存在一点η,使f(ξ)=f’(η)(ξ-a),从而由(Ⅱ)的结论得 [*] 即f’(η)(b
2
-a
2
)=2ξ/(ξ-a)∫
a
b
f(x)dx。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/QRk4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
曲线y=(x-1)2(x-3)2的拐点个数为
[*]
设u=e-xsinx/y,则э2u/эxэy在点(2,1/π)处的值________。
设矩阵,已知线性方程组Ax=β有解但不唯一.试求:(1)a的值;(2)正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵.
设A为n阶非奇异矩阵,a为n维列向量,b为常数,记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.计算并化简PQ;
齐次方程组的系数矩阵为A,若存在三阶矩阵B≠O,使得AB=O,则().
(1997年试题,八)就k的不同取值情况,确定方程在开区间内根的个数,并证明你的结论.
随机试题
没药主含( )。
A.大理石样花纹B.朱砂点C.云锦纹D.罗盘纹E.有星点商陆断面可见
患者,女性,36岁。风心病二尖瓣狭窄、心房颤动6年。无明显原因突然出现意识障碍,最可能的直接原因是
甲承包经营某矿井采矿业务。甲为了降低采矿成本,提高开采量,便动员当地矿工和村民将子女带到矿井上班,并许诺给他们的子女以高工资。矿工和村民纷纷将他们的子女带到矿井上班,从事井下采矿作业,其中有二十余人为10~16周岁的未成年人。后因甲所承诺的高工资未兑现,二
下列有关新录用公务员试用期的说法哪项是正确的?()
下列关于线性组织结构特点描述正确的是()。
某城市桥梁工程跨越既有外环道路,桥梁最大跨度35m,桥底净空18m。下部结构采用钻孔灌注桩基础,上部结构为现浇预应力混凝土箱梁。施工过程中首批基桩的低应变检测报告出现断桩,检查过程中发现:未见浇筑桩施工技术交底文件,只有项目技术负责人现场口头交底纪录。水下
中国反洗钱监测分析中心的职责不包括()。
甲公司为增值税一般纳税人,2020年10月从国外进口一批设备,海关核定的关税完税价格为116万元,缴纳关税11.6万元。已知增值税税率为13%,甲公司该笔业务应缴纳增值税税额的下列计算中,正确的是()。
毛泽东第一次提出马克思主义中国化的命题是在
最新回复
(
0
)