2. 考研
  3. 直线l：x＋y＝b与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2相交于A，B两点，若｜AB｜＝2，则b的值等于[ ]．

直线l：x＋y＝b与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2相交于A，B两点，若｜AB｜＝2，则b的值等于[ ]．

admin2014-11-07  57
问题 直线l：x＋y＝b与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2相交于A，B两点，若｜AB｜＝2，则b的值等于[    ]．
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案C
解析 用代数方程求解，以y＝b一x代入圆C方程得
    2x2－2bx＋(b—1)2－1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
    x1＋2＝b，x1x2＝(b2－2b)，
    (x1一x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
                                              ＝b2－2(b2－2b)＝一b2＋4b．
    ｜AB｜2＝(x1一x2)2＋(y1一y2)2
                      ＝2(x1一x2)2＝2(一b2＋4b)，
由｜AB｜2＝4，即得一b2＋4b＝2，解得
    ．
    本题借助图形也很容易分析(见图)，即考查斜率为－1的直线l与圆C(圆心在Q(1，1)，半径为交于A，B，｜AB｜＝2．因｜QA｜＝｜QB｜＝，所以△QAB为等腰直角三角形，Q至l距离为1．用．

    故选C．
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