设A=E—2ξξT，其中ξ=（x1，x2，…，xn）T，且有ξTξ=1。则 ①A是对称矩阵； ②A2是单位矩阵； ③A是正交矩阵； ④A是可逆矩阵。上述结论中，正确的个数是（）

admin2019-07-12 37

问题设A=E—2ξξ^T，其中ξ=（x₁，x₂，…，x_n）^T，且有ξ^Tξ=1。则
①A是对称矩阵；
②A²是单位矩阵；
③A是正交矩阵；
④A是可逆矩阵。
上述结论中，正确的个数是（）

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析 A^T=（E—2ξξ^T）^T=E^T一（2ξξ^T）^T=E—2ξξ^T=A，①成立。
A²=（E—2ξξ^T）（E—2ξξ^T）=E一4ξξ^T+4ξξ^Tξξ^T=E一4ξξ^T+4ξ（ξ^Tξ）ξ^T=E，②成立。
由①、②，得A²=AA^T=E，故A是正交矩阵，③成立。
由③知正交矩阵是可逆矩阵，且A^—1=A^T，④成立。
故应选D。

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