设A=E—2ξξT,其中ξ=(x1,x2,…,xn)T,且有ξTξ=1。则 ①A是对称矩阵; ②A2是单位矩阵; ③A是正交矩阵; ④A是可逆矩阵。 上述结论中,正确的个数是( )

admin2019-07-12  36

问题 设A=E—2ξξT,其中ξ=(x1,x2,…,xnT,且有ξTξ=1。则
①A是对称矩阵;
②A2是单位矩阵;
③A是正交矩阵;
④A是可逆矩阵。
上述结论中,正确的个数是(     )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析 AT=(E—2ξξTT=ET一(2ξξTT=E—2ξξT=A,①成立。
A2=(E—2ξξT)(E—2ξξT)=E一4ξξT+4ξξTξξT=E一4ξξT+4ξ(ξTξ)ξT=E,②成立。
由①、②,得A2=AAT=E,故A是正交矩阵,③成立。
由③知正交矩阵是可逆矩阵,且A—1=AT,④成立。
故应选D。
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