2. 考研
  3. 设PQ为抛物线y＝x2／4的弦，且PQ在此抛物线过P点的法线上，求PQ长度的最小值．

设PQ为抛物线y＝x2／4的弦，且PQ在此抛物线过P点的法线上，求PQ长度的最小值．

admin2021-08-31  20
问题 设PQ为抛物线y＝x2／4的弦，且PQ在此抛物线过P点的法线上，求PQ长度的最小值．
选项
答案令P(a，a2／4)，因为y＝x2／4关于y轴对称，不妨设a＞0． y’(a)＝a／2，过P点的法线方程为y－a2／4＝－2／a(x－a)， 设Q(b，b2／4)，因为Q在法线上，所以b2／4－a2／4＝－2(b－a)／a，解得b＝－a－8／a． PQ的长度的平方为L(a)＝(b－a)2＋[(b2)－a2／4]2＝4a2(1＋4／a2)， 由L’(a)＝8a(1＋4／a2)(1－8／a2)＝0得。A＝[*]为唯一驻点，从而为最小值点。 故PQ的最小距离为[*]＝[*]．
解析
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考研数学一

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