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已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0,设α=(1,2,一1)T且满足Aα=2α. 求正交变换x=Qy化二次型为标准形,并写出所用坐标变换.
已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0,设α=(1,2,一1)T且满足Aα=2α. 求正交变换x=Qy化二次型为标准形,并写出所用坐标变换.
admin
2014-02-06
52
问题
已知三元二次型x
T
Ax的平方项系数均为0,设α=(1,2,一1)
T
且满足Aα=2α.
求正交变换x=Qy化二次型为标准形,并写出所用坐标变换.
选项
答案
由[*]得矩阵A的特征值为2,2,一4.由[*]得λ=2的特征向量α
1
=(1,1,0)
T
,α
2
=(1,0,1)
T
;由[*]得λ=一4的特征向量α
3
=(一1,1,1)
T
.将α
1
,α
2
正交化.令β
1
=α
1
,则[*]再对β
1
,β
2
,β
3
单位化,有[*]那么令[*],有x
T
Ax=y
T
Ay=2y
1
2
+2y
2
2
一4y
3
2
解析
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考研数学三
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