2. 考研
  3. 在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

admin2018-05-23  49
问题 在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．
选项
答案设所求曲线为y=y(x)，该曲线在点P(x，y)的法线方程为 Y—y=[*](X—x)(y’≠0) 令Y=0，得X=x+yy’，该点到x轴法线段PQ的长度为[*]， 由题意得[*]，即yy’=1+y’2． 令y’=p，则y’’=[*]， 两边积分得y=[*]，由y(1)=1，y’(1)=0得C1=1，又y’＞0，所以y’=[*]， 变量分离得[*]=dx，两边积分得ln(y+[*])=x+C2，由y(1)=1得C2=一1， [*]
解析
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考研数学一

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