2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝2y12－y22－y32，又A*α＝α，其中α＝(1，1，﹣1)T． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X＝QY，二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX化为标准形．

设二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝2y12－y22－y32，又A*α＝α，其中α＝(1，1，﹣1)T． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X＝QY，二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX化为标准形．

admin2022-04-10  70
问题 设二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝2y12－y22－y32，又A*α＝α，其中α＝(1，1，﹣1)T．
(Ⅰ)求矩阵A；
(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X＝QY，二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX化为标准形．
选项
答案(Ⅰ)显然A的特征值为λ1＝2，λ2＝﹣1，λ3＝﹣1，｜A｜＝2，伴随矩阵A*的特征值为μ1＝1，μ2＝﹣2，μ3＝﹣2．由A*α＝α得AA*α＝Aα，即Aα＝2α，即α＝(1，1，﹣1)T是矩阵A的对应于特征值λ1＝2的特征向量．令ξ＝(x1，x2，x3)T为矩阵A的对应于特征值λ2＝﹣1，λ3＝﹣1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以αTξ＝0，即x1＋x2－x3＝0，于是λ2＝﹣1，λ3＝﹣1对应的线性无关的特征向量为[*] [*] (Ⅱ)[*]
解析
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考研数学三

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