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设u=f(xy,x2-y2,x),其中函数f有二阶连续偏导数,试求: (Ⅰ)du; (Ⅱ)
设u=f(xy,x2-y2,x),其中函数f有二阶连续偏导数,试求: (Ⅰ)du; (Ⅱ)
admin
2015-05-07
65
问题
设u=f(xy,x
2
-y
2
,x),其中函数f有二阶连续偏导数,试求:
(Ⅰ)du;
(Ⅱ)
选项
答案
(Ⅰ) 利用一阶全微分形式不变性,直接求全微分得 du=f’
1
.d(xy)+f’
2
.d(x
2
-y
2
)+f’
3
.dx =f’
1
.(ydx+xdy)+2f’
2
.(xdx-ydy)+f’
3
.dx =(yf’
1
+2xf’
2
+f’
3
)dx+(xf’
1
-2yf’
2
)dy. (Ⅱ) 由du表达式中dx的系数可得 u’
x
=yf’
1
+2xf’
2
+f’
3
. 上式再对y求偏导数,即得 u"
xy
=y(f’
1
)’
y
+2x(f’
2
)’
y
+(f’
3
)’
y
+f’
1
. 由于 f’
1
=f’
1
(xy,x
2
-y
2
,x), f’
2
=f’
2
(xy,x
2
-y
2
,x),f’
3
=f’
3
(xy,x
2
-y
2
,x), 它们仍是复合函数,求它们关于y的偏导数与求f(xy,x
2
-y
2
,x)关于y的偏导数的方法是相同 的,同样由复合函数求导法有 (f’
1
)’
y
=xf"
11
-2yf"
12
, (f’
2
)’
y
=xf"
21
-2yf"
22
, (f’
3
)’
y
=xf"
31
-2yf"
32
. 代入u"
xy
的表达式,并利用f"
12
=f"
21
(因为它们连续),得 u"
xy
=y(xf"
11
-2yf"
12
)+2yf"
21
-2yf"
22
)+xf"
31
-2yf"
32
+f’
1
=xyf"
11
+2(x
2
-y
2
)f"
12
-4xyf"
22
+xf"
31
-2yf"
32
+f’
1
.
解析
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考研数学一
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