设3阶方阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2，试证： r(A)=2；

admin2021-02-25 40

问题设3阶方阵A=(α₁，α₂，α₃)有3个不同的特征值，且α₃=α₁+2α₂，
试证：
r(A)=2；

选项

答案由于α₃=α₁+2α₂知r(A)＜3，所以0是A的一个特征值，又由于A的3个特征值各不相同，故A可对角化，且A有两个非零特征值，从而r(A)=2．所以Ax=0的基础解系只有一个线性无关的解向量．

解析本题考查向量组线性相关和矩阵特征值的概念和性质，矩阵相似对角化的条件以及非齐次线性方程组通解的结构．

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