2. 考研
  3. 设A＝，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．

设A＝，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．

admin2019-06-28  79
问题 设A＝，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．
选项
答案｜λE－A｜＝[*]＝0， 得矩阵A的特征值为λ1＝1－a，λ2＝a，λ3＝1＋a． (1)当1－a≠a，1－a≠1＋a，a≠1＋a，即a≠0且a≠[*]时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化． λ1＝1－a时，由(1－a)E－A]X＝0 得ξ1＝[*]；λ2＝a时， 由(aE－A)X＝0得考ξ2＝[*]；λ3＝1＋a时， 由[(1＋a)E－A]X＝0得ξ3＝[*] [*] (2)当a＝0时，λ1＝λ3＝1，因为r(E－A)＝2，所以方程组(E－A)X一0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化． (3)当a＝[*]时，λ1＝λ2＝[*]，因为r([*]E－A)＝2，所以方程组([*]E－A)X＝0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故A不可以对角化．
解析
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考研数学二

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