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  3. 设A=E一ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明： A2=A的充分条件是ξTξ=1；

设A=E一ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明： A2=A的充分条件是ξTξ=1；

admin2016-03-05  75
问题 设A=E一ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：
A2=A的充分条件是ξTξ=1；
选项
答案A2=(E一ξξT)(E一ξξT)=E一2ξξT+ξ(ξTξ)ξT=E一(2一ξTξ)ξξT因此A2=A→E一(2一ξTξ)ξξT=E一ξξT→(ξTξ一1)ξξT=0．因为ξ≠0，所以ξξT≠0，因此A2=A的充分条件为ξTξ=1．
解析
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考研数学二

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