设A=E一ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明： A2=A的充分条件是ξTξ=1；

admin2016-03-05 89

问题设A=E一ξξ^T，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξ^T是ξ的转置．证明：
A²=A的充分条件是ξ^Tξ=1；

选项

答案A²=(E一ξξ^T)(E一ξξ^T)=E一2ξξ^T+ξ(ξ^Tξ)ξ^T=E一(2一ξ^Tξ)ξξ^T因此A²=A→E一(2一ξ^Tξ)ξξ^T=E一ξξ^T→(ξ^Tξ一1)ξξ^T=0．因为ξ≠0，所以ξξ^T≠0，因此A²=A的充分条件为ξ^Tξ=1．

解析

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