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  3. 函数f(x)=xsinx________。

函数f(x)=xsinx________。

admin2022-09-05  85
问题 函数f(x)=xsinx________。
选项 A、当x→∞是无穷大
B、在(－∞,+∞)内有界
C、在(－∞,+∞）内无界
D、当x→∞时有有界极限
答案C
解析 只要正确理解当x→∞时，f(x)为无穷大与f(x)无界两个概念之间的区别，就容易作出正确选择，验证选择。
可直接验算C为正确选项，根据x→∞时f(x)无界的定义，无论给定M多大，均存在x0使得f(x0)＞M,现在取正整数k,使得(2k+)π＞M,并令x0=(2k+)π，则
f(x0)=(2k+)πsin[2k+)π]=(2k+)π＞M
排除法
若取xk=2kπ,则f(xk)=2kπsin2kπ=0,故x→∞时，f(x)不是无穷大量，从而排除A。
分别取xk(1)=2kπ,xk(2)=(2k+)π,则当k→∞时，f(xk(1))=0,而f(xk(2))→∞,因此x→∞时f(x)不存在有限极限，且在(－∞,+∞)内f(x)也不是有界的，于是B,D不成立。
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考研数学三

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