2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上二阶可导，f(a)=f(b)=0。试证明至少存在一点ξ∈(a，b)使|f”(ξ)|≥|f(x)|。

设f(x)在[a，b]上二阶可导，f(a)=f(b)=0。试证明至少存在一点ξ∈(a，b)使|f”(ξ)|≥|f(x)|。

admin2019-01-19  54
问题 设f(x)在[a，b]上二阶可导，f(a)=f(b)=0。试证明至少存在一点ξ∈(a，b)使|f”(ξ)|≥|f(x)|。
选项
答案(1)若f(x)≡0，则结论显然成立； (2)设|f(x0)|=[*]|f(x)|，x0∈(a，b)，即函数f(x)在x=x0处取得最大值。又因为f(x)在[a，b]上二阶可导，则有f(x0)=0。将函数f(x)在x=x处展成带有拉格朗日型余项的二阶泰勒展开式，即 f(x)=f(x0)+f(x0)(x一x0)+[*](x一x0)2,η=x0+θ(x一x0)，0<θ<1。 由于f(a)=0，故将x=a代入上式可得 0=f(a)=f(x0)+f＇(x0)(a一x0)+[*](a一x0)2， 即 f|＂(ξ1)|=[*]，a＜ξ1＜x0。 同理，有0=f(b)=f(x0)+f(x)(b一x0)+[*](b一x0)2， 即 |f＂(ξ2)|=[*]，x0＜ξ2＜b0。 令|f＂(ξ)|=[*]|f＂(x)|，则 |f＂(ξ)|=[*]=[|f＂(ξ1)|+|f＂(ξ2)|] =|f(x0)|[*] ≥|f(x0)|[*] 当且仅当x0=[*]时，不等式中的等号成立。 故存在ξ使得 |f＂(ξ)|≥[*]|f(x0)|， 即 |f＂(ξ)|≥[*]|f(x)|。
解析
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考研数学三

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