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考研
已知函数f(x)二阶可导,且,则f(x)=__________。
已知函数f(x)二阶可导,且,则f(x)=__________。
admin
2019-01-25
56
问题
已知函数f(x)二阶可导,且
,则f(x)=__________。
选项
答案
[*], C
1
,C
2
为任意常数
解析
本题考查变限积分求导和二阶非齐次微分方程求解。首先处理积分∫
1
0
f(tx)dt,在等式两端乘以x,令u=tx,原式化为含变上限积分的等式;再通过对变形后的方程两边同时求导构造二阶微分方程;最后利-用二阶非齐次方程求解步骤求通解。
将所给的方程两端同乘以x可得
令u=tx,上式变为
两边同时对x求导,得微分方程f"(x)-4f(x)=e
2x
,即y"-4y=e
2x
。y"-4y=0的特征根为λ=±2,因此对应齐次方程的通解为y=C
1
e
-2x
+C
2
e
2x
。
设特解为y
*
=Axe
2x
,代入y"-4y=e
2x
,解得
,所以
,C
1
,C
2
为任意常数。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KhP4777K
0
考研数学三
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