2. 考研
  3. 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3= —2，α1=(1，—1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5—4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量。

设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3= —2，α1=(1，—1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5—4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量。

admin2018-12-29  42
问题 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3= —2，α1=(1，—1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5—4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。
验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量。
选项
答案由Aα1=α1，得A2α1=Aα1=α1，依次递推，则有A3α1=α1，A5α1=α1，故 Bα1=(A5—4A3+E)α1=A5α1—4A3α1+α1= —2α1， 即α1是矩阵B的属于特征值—2的特征向量。 由关系式B=A5—4A3+E及A的三个特征值λ1=1，λ2=2，λ3= —2得B的三个特征值为μ1= —2，μ2=1，μ3=1。 设α2，α3为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此α1与α2，α3正交，即α1Tα2=0，α1Tα3=0。 因此α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即 [*] 得其基础解系为[*]，故可取α2=[*]。 B的全部特征向量为[*]，其中k1≠0，k2，k3不同时为零。
解析
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考研数学一

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