设而n≥2为正整数，则An－2An－1=___________．

admin2019-03-22 54

问题设

而n≥2为正整数，则Aⁿ－2A^n－1=___________．

选项

答案O

解析解一  当n=2时，A²=2A，即A²－2A=O，当n>2时，原式=A^n－2(A²－2A)=A^n－2O=O，故当n≥2时，有Aⁿ－2A^n－1=O．
解二  易求得A²=2A=2^2－1A，A³=A²·A=2A²=2×2A=2²A=2^3－1A，因而Aⁿ=2^n－1A，A^n－1=2^n－2A，则Aⁿ－2A^n－1=2^n－1A－2·2^n－2A=2^n－1A－2^n－1A=O．
解三  由于A为实对称矩阵，可用相似对角化求出Aⁿ．由|λE－A|=λ(λ－2)²得到A的特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=0．
由于A为实对称矩阵，必存在可逆矩阵P，使P^－1AP=diag(2，2，0)=Λ．
于是A=PΛP^－1，Aⁿ=PΛⁿP^－1，2A^n－1=P(2Λ^n－1)P^－1=PΛⁿP^－1，故Aⁿ－2A^n－1=O．

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考研数学三

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