设A=(aij)为n阶方阵，证明：对任意的n维列向量X，都有XTAX=0A为反对称矩阵．

admin2019-05-14 43

问题设A=(a_ij)为n阶方阵，证明：对任意的n维列向量X，都有X^TAX=0

A为反对称矩阵．

选项

答案必要性：取X=ε_j =(0，…，0，1，0，…，0)^T(第j个分量为1，其余分量全为零的n维列向量)，则由0=ε_j^TAε_j=a_ij，及i≠j时，有0=(ε_i +ε_j)^TA(ε_i+ε_j)=ε_i^TAε_i+ε_i^TAε_i+ε_j^TAε_i+ε_j^TAε_j=0+a_ij+a_ij+0=a_ij+a_ji，可知A为反对称矩阵．充分性：若A^T=一A，则XA^TX=一X^TAX，又X^TA^TX为1阶方阵，其转置不变，因而有X^TA^TX=(X^TA^TX)^T=X^TAX→X^TAX=一X^TAX→2X^TAX=0→X^TAX=0．

解析

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考研数学一

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(Ⅰ)设A，B均为n阶非零矩阵，且A2＋A＝0，B2＋B＝0，证明λ＝－1必是矩阵A与B的特征值；(Ⅱ)若AB＝BA＝0，α与β分别是A与B属于特征值λ＝－1的特征向量，证明向量组α，β线性无关．
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