求下列三重积分: (Ⅰ)I=(x2+y2)dV,其中力由z=16(x2+y2),z=4(x2+y2),z=16围成; (Ⅱ)I=,其中力由x2+y2+z2≤2z所确定.

admin2018-11-21  27

问题 求下列三重积分:
(Ⅰ)I=(x2+y2)dV,其中力由z=16(x2+y2),z=4(x2+y2),z=16围成;
(Ⅱ)I=,其中力由x2+y2+z2≤2z所确定.

选项

答案(Ⅰ)Ω由两旋转抛物面与平面z=16所围,被积函数为r2(r=[*]),故选用柱坐标变换.过z轴,极角为θ的半平面交Ω得平面区域D(θ)为已知(图9.57),于是用先二后一(先r,z后θ)的积分顺序化为累次积分, 则有 [*] (Ⅱ)被积函数为ρ=[*]的函数,Ω是球体:x2+y2+(z—1)2≤12,故选用球坐标变换.在球坐标变换下,Ω:0≤θ≤2π,0≤φ≤[*],0≤ρ≤2cosφ, [*]

解析
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