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设矩阵A与B相似,其中 (1)求x和y的值; (2)求可逆矩阵P,使P-1AP=B.
设矩阵A与B相似,其中 (1)求x和y的值; (2)求可逆矩阵P,使P-1AP=B.
admin
2018-07-26
83
问题
设矩阵A与B相似,其中
(1)求x和y的值;
(2)求可逆矩阵P,使P
-1
AP=B.
选项
答案
(1)因为A与B相似,故它们的特征多项式相同,即|λI-A|=|λI-B|,得 (λ+2)[λ
2
-(x+1)λ+(x-2)]≡(λ+1)(λ-2)(λ-y) 令λ=0,得2(x-2)=2y,可见y=x-2;令λ=1,得y=-2,从而x=0. 或由A与对角阵B相似知A的全部特征值为:-1,2,y.将λ=-1代入A的特征方程,有 [*] 故x=0,再由特征值的性质,有-1+2+y=-2+x+1=-2+0+1=-1,得y=-2. (2)由(1)知 [*] 且A的全部特征值为λ
1
=-1,λ
2
=2,λ
3
=-2,计算可得对应的特征向量分别可取为 ξ
1
=(0,2,-1)
T
,ξ
2
=(0,1,1)
T
,ξ
3
=(1,0,-1)
T
故可逆矩阵 P=[ξ
1
ξ
2
ξ
3
] [*] 满足P
-1
AP=B.
解析
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考研数学三
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