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  3. 求一个正交变换化下列二次型化成标准形： (1)f＝2χ12＋3χ22＋3χ32＋4χ2χ3； (2)f＝χ12＋χ32＋2χ1χ2－2χ2χ3．

求一个正交变换化下列二次型化成标准形： (1)f＝2χ12＋3χ22＋3χ32＋4χ2χ3； (2)f＝χ12＋χ32＋2χ1χ2－2χ2χ3．

admin2021-11-15  16
问题 求一个正交变换化下列二次型化成标准形：
    (1)f＝2χ12＋3χ22＋3χ32＋4χ2χ3；
    (2)f＝χ12＋χ32＋2χ1χ2－2χ2χ3．
选项
答案(1)二次型的矩阵为 [*] 得A的特征值为λ1＝2，λ2＝5，λ3＝1． 当λ1＝2时，解方程(A－2E)χ＝0，由 [*] 得单位特征向量P1＝[*] 当λ2＝5时，解方程(A－5E)χ＝0，由 [*] 得单位特征向量p2＝[*] 当λ3＝1时，解方程(A－E)χ＝0由 [*] 得单位特征向量P3＝[*] 于是有正交矩阵Q＝(p1，P2，P3)和正交变换χ＝Qy，使得 [*] 则有f＝2y12＋5y22＋y32． (2)二次型的矩阵为 [*] 可得A的特征值为λ1＝－1，λ2＝1，λ3＝2． 当λ1＝－1时，解方程(A＋E)χ＝0，由 [*] 得单位特征向量p1＝[*] 当λ2＝1时，解方程(A－E)χ＝0，由 [*] 可得单位特征向量p2＝[*] 当λ3＝2时，解方程(A－2E)χ＝0，由 [*] 可得单位特征向量p3＝[*] 于是有正交矩阵Q＝(p1，p2，p3)和正交变换χ＝Qy，使得 [*] 则有f＝2y12＋y22－y32．
解析
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考研数学一

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