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求一个正交变换化下列二次型化成标准形: (1)f=2χ12+3χ22+3χ32+4χ2χ3; (2)f=χ12+χ32+2χ1χ2-2χ2χ3.
求一个正交变换化下列二次型化成标准形: (1)f=2χ12+3χ22+3χ32+4χ2χ3; (2)f=χ12+χ32+2χ1χ2-2χ2χ3.
admin
2021-11-15
13
问题
求一个正交变换化下列二次型化成标准形:
(1)f=2χ
1
2
+3χ
2
2
+3χ
3
2
+4χ
2
χ
3
;
(2)f=χ
1
2
+χ
3
2
+2χ
1
χ
2
-2χ
2
χ
3
.
选项
答案
(1)二次型的矩阵为 [*] 得A的特征值为λ
1
=2,λ
2
=5,λ
3
=1. 当λ
1
=2时,解方程(A-2E)χ=0,由 [*] 得单位特征向量P
1
=[*] 当λ
2
=5时,解方程(A-5E)χ=0,由 [*] 得单位特征向量p
2
=[*] 当λ
3
=1时,解方程(A-E)χ=0由 [*] 得单位特征向量P
3
=[*] 于是有正交矩阵Q=(p
1
,P
2
,P
3
)和正交变换χ=Qy,使得 [*] 则有f=2y
1
2
+5y
2
2
+y
3
2
. (2)二次型的矩阵为 [*] 可得A的特征值为λ
1
=-1,λ
2
=1,λ
3
=2. 当λ
1
=-1时,解方程(A+E)χ=0,由 [*] 得单位特征向量p
1
=[*] 当λ
2
=1时,解方程(A-E)χ=0,由 [*] 可得单位特征向量p
2
=[*] 当λ
3
=2时,解方程(A-2E)χ=0,由 [*] 可得单位特征向量p
3
=[*] 于是有正交矩阵Q=(p
1
,p
2
,p
3
)和正交变换χ=Qy,使得 [*] 则有f=2y
1
2
+y
2
2
-y
3
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ZCl4777K
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考研数学一
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