设f(x)在[0，+∞)上二阶可导，f(0)=0，f〞(x)＜0，当0＜a＜x＜b时，有( )

admin2022-05-20 55

问题设f(x)在[0，+∞)上二阶可导，f(0)=0，f〞(x)＜0，当0＜a＜x＜b时，有( )

选项 A、af(x)＞xf(a)
B、bf(x)＞xf(b)
C、xf(x)＞bf(b)
D、xf(x)＞af(a)

答案B

解析令F(x)=f(x)／x(x＞0)，则
F’(x)=［xf’(x)-f(x)］／x²=｛xf’(x)-［f(x)-f(0)］｝／x²
=［xf’(x)-xf’(ξ)］／x²=［f’(x)-f’(ξ)］／x，
其中0＜ξ＜x＜b.
由f"(x)＜0，知f’(x)单调减少，故F’(x)＜0，从而F(x)单调减少，于是有f(x)／x＞f(b)／b，即bf(x)＞xf(b)，故B正确．

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