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  3. 已知3阶矩阵A的第1行是(a，b，c)，矩阵B=(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解．

已知3阶矩阵A的第1行是(a，b，c)，矩阵B=(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解．

admin2018-07-27  69
问题 已知3阶矩阵A的第1行是(a，b，c)，矩阵B=(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解．
选项
答案由于AB=O，知B的每一列都是方程组Ax=0的解，因此Ax=0至少有r(B)个线性无关解，所以Ax=0的基础解系至少含r(B)个向量，即3－r(A)≥r(B)，或r(A)≤3－r(B)．又由a，b，c不全为零，可知r(A)≥1． 当k≠9时，r(B)=2，有1≤r(A)≤1，于是r(A)=1； 当k=0时，r(B)=1，有1≤r(A)≤2．于是r(A)=1或r(A)=2． 当k≠9时，由AB=O可得 [*] 由于η1=(1，2，3)T，η2=(3，6，k)T线性无关，故η1，η2为Ax=0的一个基础解系，于是Ax=0的通解为 x=c1η1+c2η2，其中c1，c2为任意常数 当k=9时，分别就r(A)=2和r(A)=1讨论如下： 如果r(A)=2．则Ax=0的基础解系由一个向量构成．又因为A[*]=0，所以Ax=0的通解为 x=c1(1，2，3)T，其中c1为任意常数． 如果r(A)=1，则Ax=0的基础解系由两个向量构成．又因为A的第一行为(a，b，c)且a，b，C不全为零，所以Ax=0等价于ax1+bx2+cx3=0．不妨设a≠0，则η1=(－b，a，0)T，η2=(－c，0，a)T是Ax=0的两个线性无关的解，从而η1，η2可作为Ax=0的基础解系．故Ax=0的通解为 x=c1η1+c2η2，其中c1，c2为任意常数．
解析
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考研数学三

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