设函数f(x)在(一∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和f"(x)在(一∞，+∞)内有界，证明：f’(x)在(一∞，+∞)内有界．

admin2015-08-14 49

问题设函数f(x)在(一∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和f"(x)在(一∞，+∞)内有界，证明：f’(x)在(一∞，+∞)内有界．

选项

答案存在正常数M₀，M₂，使得[*]∈(一∞，+∞)，恒有 |f(x)|≤M₀，|f"(x)|≤M₂．由泰勒公式，有 f(x+1)=f(x)+f’(x)+[*] 其中ξ介于x与x+1之间，整理得 f’(x)=f(x+1)一f(x)一[*] 所以 |f’(x)|≤|f(x+1)|+|f(x)|+[*] 因此函数f’(x)在(一∞，+∞)内有界．

解析

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