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设函数f(x)在(一∞,+∞)内二阶可导,且f(x)和f"(x)在(一∞,+∞)内有界,证明:f’(x)在(一∞,+∞)内有界.
设函数f(x)在(一∞,+∞)内二阶可导,且f(x)和f"(x)在(一∞,+∞)内有界,证明:f’(x)在(一∞,+∞)内有界.
admin
2015-08-14
44
问题
设函数f(x)在(一∞,+∞)内二阶可导,且f(x)和f"(x)在(一∞,+∞)内有界,证明:f’(x)在(一∞,+∞)内有界.
选项
答案
存在正常数M
0
,M
2
,使得[*]∈(一∞,+∞),恒有 |f(x)|≤M
0
,|f"(x)|≤M
2
. 由泰勒公式,有 f(x+1)=f(x)+f’(x)+[*] 其中ξ介于x与x+1之间,整理得 f’(x)=f(x+1)一f(x)一[*] 所以 |f’(x)|≤|f(x+1)|+|f(x)|+[*] 因此函数f’(x)在(一∞,+∞)内有界.
解析
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考研数学二
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