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求证：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件下存在最大值和最小值，且它们是方程k2－(Aa2+Cb2)k+(AC－B2)a2b2=0的根．
求证：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件下存在最大值和最小值，且它们是方程k2－(Aa2+Cb2)k+(AC－B2)a2b2=0的根．
admin
2018-09-25
57
问题
求证：f(x，y)=Ax
2
+2Bxy+Cy
2
在约束条件
下存在最大值和最小值，且它们是方程k
2
－(Aa
2
+Cb
2
)k+(AC－B
2
)a
2
b
2
=0的根．
选项
答案
因为f(x，y)在全平面连续， [*] 为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必存在最大值和最小值． 设(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)分别为最大值点和最小值点，令 [*] 则(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)应满足方程 [*] 记相应乘子为λ
1
，λ
2
，则(x
1
，y
1
，λ
1
)满足 [*] 解得λ
1
=Ax
1
2
+2Bx
1
y
1
+Cy
1
2
．同理λ
2
=Ax
2
2
+2Bx
2
y
2
+Cy
2
2
，即A，，A：是f(x，y)在椭圆 [*] 上的最大值和最小值． 又方程①和②有非零解，系数行列式为0，即 [*] 化简得λ
2
－(Aa
2
+Cb
2
)λ+(AC－B
2
)a
2
b
2
=0，所以λ
1
，λ
2
是上述方程(即题目所给方程)的根．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mag4777K
0
考研数学一
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