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设随机变量X,Y相互独立,已知X在[0,1]上服从均匀分布,Y服从参数为1的指数分布.求(Ⅰ)随机变量Z=2X+Y的密度函数;(Ⅱ)Cov(Y,Z),并判断X与Z的独立性.
设随机变量X,Y相互独立,已知X在[0,1]上服从均匀分布,Y服从参数为1的指数分布.求(Ⅰ)随机变量Z=2X+Y的密度函数;(Ⅱ)Cov(Y,Z),并判断X与Z的独立性.
admin
2018-06-14
77
问题
设随机变量X,Y相互独立,已知X在[0,1]上服从均匀分布,Y服从参数为1的指数分布.求(Ⅰ)随机变量Z=2X+Y的密度函数;(Ⅱ)Cov(Y,Z),并判断X与Z的独立性.
选项
答案
(X,Y)的联合密度 f(x,y)=f
X
(x)f
Y
(y)=[*] (Ⅰ)分布函数法. F
Z
(z)=P{Z≤z}=P{2X+Y≤z}. 当z<0时,Fz(z)=0;当0≤z<2时,如图4.1, [*] 当z≥2时, F
Z
(z)=∫
0
1
dx∫
0
z—2x
e
-y
dy=∫
0
1
[1—e
-(z—2x)
]dx=1一[*](e
2
—1). Z的概率密度f
Z
(z)为 [*] (Ⅱ)由于X,Y相互独立,所以Cov(X,Y)=0. Cov(Y,Z)=Cov(Y,2X+Y)=2Cov(X,Y)+DY=0+1=1 由于Cov(X,Z)=Cov(X,2X+Y)=2DX+Cov(X,Y)=[*]≠0,所以X与Z不独立.
解析
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考研数学三
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