设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α线性无关．

admin2018-07-27 52

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kX=0有解向量α，且A^k－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，A^k－1α线性无关．

选项

答案设有一组数λ₀，λ₁，…，λ_k－1使λ₀α+λ₁Aα+…+λ_k－1A^k－1α=0，两端左乘A^k－1，由于A^k－mα=0(m=0，1，2，…)，[*]λ₀A^k－1α=0，又A^k－1α≠0，[*]λ₀=0，同理可证λ₁=…=λ_k－1=0，故α，Aα，…，A^k－1α线性无关．

解析

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考研数学三

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