首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
[2001年] 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足 证明至少存在一点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ).
[2001年] 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足 证明至少存在一点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ).
admin
2019-03-30
61
问题
[2001年] 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足
证明至少存在一点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=(1-ξ
-1
)f(ξ).
选项
答案
证一 将ξ换为x,待证等式化为 f’(x)-(1-1/x)f(x)=0, f’(x)-(x-lnx)’f(x)=0, e
-(x-lnx)
f’(x)-e
-(x-lnx)
(x-lnx)’f(x)=0, e
-(x-lnx)
f’(x)+[e
-(x-lnx)
]’f(x)=[e
-(x-lnx)
f(x)]’=0, 则应构造的辅助函数为 F(x)=e
-(x-lnx)
f(x)=xe
-x
f(x). 下用罗尔定理证明中值等式.由积分中值定理知,至少存在一点ξ
1
∈[0,1/k][*][0,1],使 [*] 即1·e
-1
f(1)=ξ
1
e
ξ
1
f(ξ
1
),亦即F(1)=F(ξ
1
).又F(x)在[ξ
1
,1]上满足罗尔定理的其他条件,故由罗尔定理知,至少存在一点ξ∈(ξ
1
,1)[*](0,1),使 F’(ξ)=0, 即 e
1-ξ
[f(ξ)-ξf(ξ)+ξf’(ξ)]=0, 亦即 f’(ξ)=(1-ξ
-1
)f(ξ). 证二 用积分法求出辅助函数.视f’(x)=(1-1/x)f(x)为f(x)所满足的齐次微分方程,由其通解公式得到 [*] 因而F(x)=xe
-x
f(x).下同解一略. 证三 由题设[*]首先想到使用积分中值定理.由该定理知,至少存在一点ξ∈[0,1/k][*][0,1],使 [*] 如果构造辅助函数F(x)=xe
1-x
f(x),则F(1)=1·e
0
f(1)=f(1),即 F(1)=f(1)=ξ
1
e
1-ξ
1
f(ξ
1
)=F(ξ
1
). 又F(x)在[ξ
1
,1]上连续,在(ξ
1
,1)内可导,于是由罗尔定理知,存在一点ξ∈(ξ
1
,1)[*](0,1),使 F’(ξ)=e
1-ξ
[f(ξ)-ξf(ξ)+ξf’(ξ)]=0, 即 f’(ξ)=(1-ξ
-1
)f(ξ), ξ∈(0,1).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/saP4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点(—1,0),则b=________。
设z=f(z2一y2,exy),其中f具有连续二阶偏导数,求
已知齐次线性方程组同解,求a,b,c的值。
设曲线y=f(x)与y=x2—x在点(1,0)处有公共的切线,则=________。
设C1,C2是任意两条过原点的曲线,曲线C介于C1,C2之间,如果过C上任意一点P引平行于x轴和y轴的直线,得两块阴影所示区域A,B有相等的面积,设C的方程是y=x2,C1的方程是y=x2,求曲线C2的方程.
求曲线y=cosx与x轴围成的区域绕x轴、y轴形成的几何体体积.
微分方程2y"=3y2满足初始条件y(-2)=1,y’(-2)=1的特解为______.
求微分方程x2y’+xy=y2满足初始条件y(1)=1的特解.
(2004年)设f(x)=|x(1-x)|,则()
(2004年)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的a∈(0,1),数ua满足P{x>ua)=a,若P{|X|<x}=a,则x等于()
随机试题
关于方差分析以下错误的一项为
法的制定的程序即立法程序,是指()。
建设工程项目施工质量保证体系的主要内容有()。
中央预算的调整方案必须提请()审查和批准。
小唐在学期末复习数学的时候,会把这个学期所学的所有数学知识点写成提纲,从而帮助自己复习。这属于学习策略中的()。
以下是对中国文化艺术的文言别称,属于美术的是()。
下列句子中没有语病的一项是()。
第十二届全国人民代表大会第三次会议政府工作报告中看点众多,精彩纷呈。为了更好地宣传大会精神,新闻编辑小王需制作一个演示文稿,素材放于考生文件夹下的“文本素材.docx”及相关图片文件,具体要求如下:第1张幻灯片为标题幻灯片,标题为“图解今年年施政要
A、Talkingonthetelephone.B、Vacuumingthebathroom.C、Rollingtherocks.D、Listeningtomusic.D语义理解题。女士说可以理解欣赏摇滚乐时需要把音量调高,可是你
IntheUnitedStatesthescienceofclimatechangestillremainsacontroversialissue.Partoftheproblemsisthatitiscompl
最新回复
(
0
)