设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1α1+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βm也为AX=0的一个基础解系.

admin2018-08-02 75

问题设α₁，α₂，…，α_s为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β₁=t₁α₁+t₂α₂，β₂=t₁α₂+t₂α₃，…，β_s=t₁α₁+t₂α₁，其中t₁，t₂为实常数．试问t₁，t₂满足什么关系时，β₁，β₂，…，β_m也为AX=0的一个基础解系.

选项

答案由Ax=0的解的线性组合都是解知，β₁，β₂，…，β_s都是Ax=0的解向量．由于已知Ax=0的基础解系含s个向量，所以，只要β₁，β₂，…，β_s线性无关．就可作为基础解系，否则不能作为基础解系．由于β₁，β₂，…，β_s由线性无关向量组α₁，α₂，…，α_s线性表示的系数矩阵为s阶方阵 [*] 故β₁，β₂，…，β_s线性无关[*]｜P｜=t₁^s+(-1)^1-st₂^a≠0，即当t₁，t₂满足t₁^a+(-1)^1+st₂^a≠0(s为偶数时，t₁≠±t₂；s为奇数时，t₁≠-t₂)时，β₁，β₂，…，β_s也是Ax=0的一个基础解系．

解析

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考研数学二

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设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1α1+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βm也为AX=0的一个基础解系.

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