某三轮车厂每生产一付车架要搭配三付轮胎,设轮胎的数量为x,价格为p1 ,车架的数量为y,价格为p2 ,又设需求函数x=63一0.25p1与y=60一p2 ,成本函数为C(x,y)=x2+xy+y2+90.求该厂获最大利润时的产量与价格.

admin2016-12-16  61

问题 某三轮车厂每生产一付车架要搭配三付轮胎,设轮胎的数量为x,价格为p1 ,车架的数量为y,价格为p2 ,又设需求函数x=63一0.25p1与y=60一p2 ,成本函数为C(x,y)=x2+xy+y2+90.求该厂获最大利润时的产量与价格.

选项

答案由需求函数,可得 p1=252一4x,p2=180一3y. 则利润函数为 π=xp1+yp2一C(x,y)=x(252一4x)+y(180一3 y)一x2一xy一y2—90 =252x一5x2+180y一4y2一xy一90. 约束条件是x=3y,所以拉格朗日函数是 1=252x一5x2+180y一4y2一xy一90+λ(x一3 y). 为求极大值,先求偏导数: [*] 消去λ,则有936一31x一11y=0,再代入x=3y,消去x,得936一104y=0.从而y=9,x=3y=27,这就是获最大利润时的产量.其相应价格为 p1=252一4×27=144,p2=180一3×9=153.

解析 使用拉格朗日乘数法求之。
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