某三轮车厂每生产一付车架要搭配三付轮胎，设轮胎的数量为x，价格为p1 ，车架的数量为y，价格为p2 ，又设需求函数x=63一0．25p1与y=60一p2 ，成本函数为C(x，y)=x2+xy+y2+90．求该厂获最大利润时的产量与价格．

admin2016-12-16 74

问题某三轮车厂每生产一付车架要搭配三付轮胎，设轮胎的数量为x，价格为p₁ ，车架的数量为y，价格为p₂ ，又设需求函数x=63一0．25p₁与y=60一

p₂ ，成本函数为C(x，y)=x²+xy+y²+90．求该厂获最大利润时的产量与价格．

选项

答案由需求函数，可得 p₁=252一4x，p₂=180一3y．则利润函数为 π=xp₁+yp₂一C(x，y)=x(252一4x)+y(180一3 y)一x²一xy一y²—90 =252x一5x²+180y一4y²一xy一90．约束条件是x=3y，所以拉格朗日函数是 1=252x一5x²+180y一4y²一xy一90+λ(x一3 y)．为求极大值，先求偏导数： [*] 消去λ，则有936一31x一11y=0，再代入x=3y，消去x，得936一104y=0．从而y=9，x=3y=27，这就是获最大利润时的产量．其相应价格为 p₁=252一4×27=144，p₂=180一3×9=153．

解析使用拉格朗日乘数法求之。

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考研数学三

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某三轮车厂每生产一付车架要搭配三付轮胎，设轮胎的数量为x，价格为p1 ，车架的数量为y，价格为p2 ，又设需求函数x=63一0．25p1与y=60一p2 ，成本函数为C(x，y)=x2+xy+y2+90．求该厂获最大利润时的产量与价格．

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