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已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0,α=(1,2,—1)T满足Aα=2α. ①求xTAx的表达式. ②求作正交变换x=Qy,把xTAx化为标准二次型。
已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0,α=(1,2,—1)T满足Aα=2α. ①求xTAx的表达式. ②求作正交变换x=Qy,把xTAx化为标准二次型。
admin
2017-11-22
76
问题
已知三元二次型x
T
Ax的平方项系数都为0,α=(1,2,—1)
T
满足Aα=2α.
①求x
T
Ax的表达式.
②求作正交变换x=Qy,把x
T
Ax化为标准二次型。
选项
答案
①设[*] 则条件Aα=2α即 [*] 得2a—b=2,a—c=4,b+2c=—2,解出a=b=2,c=—2. 此二次型为4x
1
x
2
+4x
1
x
3
— 4x
2
x
3
. ②先求A特征值 [*] 于是A的特征值就是2,2,—4. 再求单位正交特征向量组 属于2的特征向量是(A— 2E)x=0的非零解. [*] 得(A— 2E)x=0的同解方程组:x
1
—x
2
—x
3
=0. 显然β
1
=(1,1,0)
T
是一个解,设第二个解为β
2
=(1,—1,c)
T
(这样的设定保证了两个解是正交的!),代入方程得c=2,得到属于特征值2的两个正交的特征向量β
1
,β
2
.再把它们单位化: 记η
1
=β
1
/ ||β
1
||=[*]β
1
,η
2
=β
2
/||β
2
||=[*] 属于—4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解,求出β
3
=(1,—1,—1)
T
是一个解,单位化: 记η
3
=β
3
/||β
3
||=[*]β
3
. 则η
3
,η
2
,η
3
是A的单位正交特征向量组,特征值依次为2,2,—4. 作正交矩阵Q=(η
3
,η
2
,η
3
),则Q
—1
AQ是对角矩阵,对角线上的元素为2,2,—4. 作正交变换x= Qy,它把f(x
1
,x
2
,x
3
)化为2y
1
2
+2y
2
2
—4y
3
2
.
解析
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考研数学三
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