设u=u(x，y，z)具有连续偏导数，而x=rsinφocosθ，y=rsinφsinθ，z=rcosφ． (Ⅰ)若=0，试证明u仅为φ与θ的函数； (Ⅱ)若，试证明u仅为r的函数．

admin2017-10-23 113

问题设u=u(x，y，z)具有连续偏导数，而x=rsinφocosθ，y=rsinφsinθ，z=rcosφ．
(Ⅰ)若

=0，试证明u仅为φ与θ的函数；
(Ⅱ)若

，试证明u仅为r的函数．

选项

答案(Ⅰ)按函数的复合关系可得 [*] =A(r²sinφcosφcos²θ+r²sinφcosφsin²θ一r²sinφcosφ) =λr²(sinφcosφ一sinφcosφ)=0，所以u不依赖于φ．注意到中间变量z不依赖于自变量θ，所以 [*] 由已知条件知上式右端为0，所以u也不依赖于θ，综上即得u仅为r的函数．

解析这是三个中间变量、三个自变量的复合函数，变量间的依赖关系如下：

为证明结论(Ⅰ)，只需证明

=0．

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