设u=u(x,y,z)具有连续偏导数,而x=rsinφocosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ. (Ⅰ)若=0,试证明u仅为φ与θ的函数; (Ⅱ)若,试证明u仅为r的函数.

admin2017-10-23  39

问题 设u=u(x,y,z)具有连续偏导数,而x=rsinφocosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ.
(Ⅰ)若=0,试证明u仅为φ与θ的函数;
(Ⅱ)若,试证明u仅为r的函数.

选项

答案(Ⅰ)按函数的复合关系可得 [*] =A(r2sinφcosφcos2θ+r2sinφcosφsin2θ一r2sinφcosφ) =λr2(sinφcosφ一sinφcosφ)=0, 所以u不依赖于φ. 注意到中间变量z不依赖于自变量θ,所以 [*] 由已知条件知上式右端为0,所以u也不依赖于θ,综上即得u仅为r的函数.

解析 这是三个中间变量、三个自变量的复合函数,变量间的依赖关系如下:

为证明结论(Ⅰ),只需证明=0.
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