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设u=u(x,y,z)具有连续偏导数,而x=rsinφocosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ. (Ⅰ)若=0,试证明u仅为φ与θ的函数; (Ⅱ)若,试证明u仅为r的函数.
设u=u(x,y,z)具有连续偏导数,而x=rsinφocosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ. (Ⅰ)若=0,试证明u仅为φ与θ的函数; (Ⅱ)若,试证明u仅为r的函数.
admin
2017-10-23
38
问题
设u=u(x,y,z)具有连续偏导数,而x=rsinφocosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ.
(Ⅰ)若
=0,试证明u仅为φ与θ的函数;
(Ⅱ)若
,试证明u仅为r的函数.
选项
答案
(Ⅰ)按函数的复合关系可得 [*] =A(r
2
sinφcosφcos
2
θ+r
2
sinφcosφsin
2
θ一r
2
sinφcosφ) =λr
2
(sinφcosφ一sinφcosφ)=0, 所以u不依赖于φ. 注意到中间变量z不依赖于自变量θ,所以 [*] 由已知条件知上式右端为0,所以u也不依赖于θ,综上即得u仅为r的函数.
解析
这是三个中间变量、三个自变量的复合函数,变量间的依赖关系如下:
为证明结论(Ⅰ),只需证明
=0.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/07H4777K
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考研数学三
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