2. 考研
  3. 设u=u(x，y，z)具有连续偏导数，而x=rsinφocosθ，y=rsinφsinθ，z=rcosφ． (Ⅰ)若=0，试证明u仅为φ与θ的函数； (Ⅱ)若，试证明u仅为r的函数．

设u=u(x，y，z)具有连续偏导数，而x=rsinφocosθ，y=rsinφsinθ，z=rcosφ． (Ⅰ)若=0，试证明u仅为φ与θ的函数； (Ⅱ)若，试证明u仅为r的函数．

admin2017-10-23  81
问题 设u=u(x，y，z)具有连续偏导数，而x=rsinφocosθ，y=rsinφsinθ，z=rcosφ．
(Ⅰ)若=0，试证明u仅为φ与θ的函数；
(Ⅱ)若，试证明u仅为r的函数．
选项
答案(Ⅰ)按函数的复合关系可得 [*] =A(r2sinφcosφcos2θ+r2sinφcosφsin2θ一r2sinφcosφ) =λr2(sinφcosφ一sinφcosφ)=0， 所以u不依赖于φ． 注意到中间变量z不依赖于自变量θ，所以 [*] 由已知条件知上式右端为0，所以u也不依赖于θ，综上即得u仅为r的函数．
解析 这是三个中间变量、三个自变量的复合函数，变量间的依赖关系如下：

为证明结论(Ⅰ)，只需证明=0．
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考研数学三

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