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已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。
已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。
admin
2017-01-21
58
问题
已知三元二次型f=x
T
Ax的秩为2，且
求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。
选项
答案
二次型x
T
Ax的秩为2，即r（A）=2，所以λ=0是A的特征值。 [*] 所以3是A的特征值，（1，2，1）
T
是与3对应的特征向量；—1也是A的特征值，（1，—1，1）
T
是与—1对应的特征向量。 因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设λ=0的特征向量是（x
1
，x
2
，x
3
）
T
，则有（x
1
，x
2
，x
3
）[*]=0，（x
1
，x
2
，x
3
）[*] 由方程组 [*] 解出λ=0的特征向量是（1，0，—1）
T
。 [*] 因此 x
T
Ax=[*]（x
1
2
+ 10x
2
2
+ x
3
2
+ 16x
1
x
2
+ 2x
1
x
3
+ 16x
2
x
3
） 令[*] 则经正交变换x=Qy，有x
T
Ax=y
T
Ay=3y
1
2
—y
3
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/09H4777K
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考研数学三
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