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设矩阵A与B相似,且 (1)求a,b的值; (2)求可逆矩阵P,使P一1AP=B.
设矩阵A与B相似,且 (1)求a,b的值; (2)求可逆矩阵P,使P一1AP=B.
admin
2016-12-16
73
问题
设矩阵A与B相似,且
(1)求a,b的值;
(2)求可逆矩阵P,使P
一1
AP=B.
选项
答案
(1)首先将A的特征多项式分解成λ的因式的乘积.为此将|λE一A|中不含λ的某元素消成零,使其所在的列(或行)产生λ的一次因式。 [*] =(λ一2)[λ
2
一(a+3)λ+3(a一1)]. 因B的3个特征值为2,2,6,由A~B可知,A与B有相同的特征值,故A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=b.由于2是A的二重特征值,故2是方程λ
2
一(a+3)λ+3(a一1)=0的根,把λ
1
=2代入上式即得a=5,因而有 |λE一A|=(λ一2)(λ
2
一8λ+12)=(λ一2)
2
(λ一6). 于是b=λ
3
=6. (2)解线性方程组(2E一A)X=0,(6E一A)X=0分别得到对应于λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=6的特征向量 α
1
=[1,一1,0]
T
,α
2
=[1,0,1]
T
; α
3
=[1,一2,3]
T
,易验证α
1
,α
2
,α
3
线性无关.令P=[α
1
,α
2
,α
3
],有P
一1
AP=B,于是P=[α
1
,α
2
,α
3
]即为所求.
解析
先求出A的3个特征值λ
1
,λ
2
,λ
3
,再分别求出A的对应于λ
i
的特征向量α
i
(i=1,2,3),则可求出可逆矩阵P=[α
1
,α
2
,α
3
].
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考研数学三
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