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设f(x)在[0,2]上三阶连续可导,且f(0)=1,f’(1)=0,f(2)=.证明:存在ξ∈(0,2),使得f”(ξ)=2.
设f(x)在[0,2]上三阶连续可导,且f(0)=1,f’(1)=0,f(2)=.证明:存在ξ∈(0,2),使得f”(ξ)=2.
admin
2019-11-25
50
问题
设f(x)在[0,2]上三阶连续可导,且f(0)=1,f’(1)=0,f(2)=
.证明:存在ξ∈(0,2),使得f”(ξ)=2.
选项
答案
方法一 先作一个函数P(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d,使得 P(0)=f(0)=1,P’(1)=f’(1)=0,P(2)=f(2)=[*],P(1)=f(1). 则P(x)=[*]+[[*]-f(1)]x
2
+[2f(1)-[*]]x+1, 令g(x)=f(x)-P(x),则g(x)在[0,2]上三阶可导,且g(0)=g(1)=g(2)=0,所以 存在c
1
∈(0,1),c
2
∈(1,2),使得g’(c
1
)=g’(1)=g’(c
2
)=0,又存在d
1
∈(c
1
,1), d
2
∈(1,c
2
)使得g”(d
1
)=g”(d
2
)=0,再由罗尔定理,存在ξ∈(d
1
,d
2
)[*](0,2), 使得g”(ξ)=0,而g”(x)=f”(x)-2,所以f’”(ξ)=2. 方法二 由泰勒公式,得 1=f(0)=f(1)+[*],ξ
1
∈(0,1), [*]=f(2)=f(1)+[*],ξ
2
∈(1,2), 两式相减,得[*],而f(x)∈C[0,2],所以存在ξ∈(0,2),使得f’”(ξ)=2.
解析
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考研数学三
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