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在椭圆=1的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线,椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小.
在椭圆=1的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线,椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小.
admin
2016-10-26
34
问题
在椭圆
=1的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线,椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小.
选项
答案
过椭圆上任意点(x
0
,y
0
)的切线的斜率y′(x
0
)满足 [*] 切线方程为y-y
0
=[*](x-x
0
). 分别令y=0与x=0,得x,y轴上的截距:[*] 于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图4.9)为 [*] S(x
0
)=[*]πab. 问题是求:S(x)=[*]πab(0<x<a)的最小值点,其中y=[*],将其代入S(x)中,问题可进一步化为求函数f(x)=x
2
(a
2
-x
2
)在闭区间[0,a]上的最大值点. 由f′(x)=2x(a
2
-2x
2
)=0(x∈(0,a))得a
2
-2x
2
=0,x=x
0
=[*]a.注意f(0)=f(a)=0,f(x
0
)>0,故x
0
=[*]是f(x)在[0,a]的最大值点.因此P([*])为所求的点.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0Gu4777K
0
考研数学一
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