在椭圆=1的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线,椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小.

admin2016-10-26  34

问题 在椭圆=1的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线,椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小.

选项

答案过椭圆上任意点(x0,y0)的切线的斜率y′(x0)满足 [*] 切线方程为y-y0=[*](x-x0). 分别令y=0与x=0,得x,y轴上的截距:[*] 于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图4.9)为 [*] S(x0)=[*]πab. 问题是求:S(x)=[*]πab(0<x<a)的最小值点,其中y=[*],将其代入S(x)中,问题可进一步化为求函数f(x)=x2(a2-x2)在闭区间[0,a]上的最大值点. 由f′(x)=2x(a2-2x2)=0(x∈(0,a))得a2-2x2=0,x=x0=[*]a.注意f(0)=f(a)=0,f(x0)>0,故x0=[*]是f(x)在[0,a]的最大值点.因此P([*])为所求的点.

解析
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