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  3. 利用变换y=f(ex)求微分方程y’’-(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解．

利用变换y=f(ex)求微分方程y’’-(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解．

admin2021-11-15  0
问题 利用变换y=f(ex)求微分方程y’’-(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解．
选项
答案令t=ex，y=f(t)[*]y’=f’(t).ex=tf’(t)， y’’=[tf’(t)]’x=exf’(t)+tf’’(t).ex=tf’(t)+t2f’’(t)，代入方程得t2f’’(t)+tf’(t)-(2t+1)tf’(t)+t2f(t)=t3，即f’’(t)-2f’(t)+f(t)=t． 解得f(t)=(C+C2t)et+t+2，所以y’’-(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解为 y=(C1+C2ex)[*]+ex+2，其中C1，C2为任意常数．
解析
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考研数学一

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