设三阶方阵A与B相似，且｜2E+A｜=0。已知λ1=1，λ2=-1是方阵B的两个特征值，则｜A+2AB｜=________。

admin2020-03-10 28

问题设三阶方阵A与B相似，且｜2E+A｜=0。已知λ₁=1，λ₂=-1是方阵B的两个特征值，则｜A+2AB｜=________。

选项

答案18

解析由｜2E+A｜=0，可得｜-2E—A｜=0，即λ=-2是A的一个特征值。
因A与B相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知，λ₁=1，λ₂=-1也是A的特征值，所以A、B的特征值均为λ₁=1，λ₂=-1，λ₃=-2，则E+2B的三个特征值分别为3，-1，-3。从而可得｜A｜=λ₁λ₂λ₃=2，｜E+2B｜=3×(-1)×(-3)=9，故
｜A+2AB｜=｜A(E+2B)｜=｜A｜.｜E+2B｜=18。

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考研数学一

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