设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )．

admin2021-07-27 15

问题设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )．

选项 A、λE-A=λE-B
B、A与B有相同的特征值和特征向量
C、A与B都相似于一个对角矩阵
D、对任意常数t，tE-A与tE-B相似

答案D

解析 A与B相似，即存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，则tE-B=tE-P^-1AP=P^-1(tE)P-P^-1AP=P^-1(tE-A)P，即tE-A与tE-B相似，选(D)．对于(A)，只有当A=B时，λE-A=λE-B才成立；对于(B)，A与B相似，则A与B有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)，A与B不一定能够相似对角化．

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