已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1—a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形；

admin2019-08-12 59

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=(1一a)x₁²+(1—a)x₂²+2x₃²+2(1+a)x₁x₂的秩为2．
求正交变换x=Qy，把f(x₁，x₂，x₃)化为标准形；

选项

答案由(1)中结论a=0，则[*]由特征多项式[*]得矩阵A的特征值λ₁=λ₂=2，λ₃=0．当λ=2，由(2E—A)x=0，系数矩阵[*]得特征向量α₁=(1，1，0)^T，α₂=(0，0，1)^T．当λ=0，由(0E—A)x=0，系数矩阵[*]得特征向量α₃=(1，一1，0)^T．容易看出α₁,α₂,α₃已两两正交，故只需将它们单位化：[*]那么令[*]，则在正交变换x=Qy下，二次型f(x₁，x₂，x₃)化为标准形f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=y^TAy=2y₁²+2y₂²．

解析

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考研数学二

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