2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1—a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2． 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形；

已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1—a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2． 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形；

admin2019-08-12  56
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1—a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．
求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形；
选项
答案由(1)中结论a=0，则[*]由特征多项式[*]得矩阵A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0．当λ=2，由(2E—A)x=0，系数矩阵[*]得特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(0，0，1)T．当λ=0，由(0E—A)x=0，系数矩阵[*]得特征向量α3=(1，一1，0)T．容易看出α1,α2,α3已两两正交，故只需将它们单位化：[*]那么令[*]，则在正交变换x=Qy下，二次型f(x1，x2，x3)化为标准形f(x1，x2，x3)=xTAx=yTAy=2y12+2y22．
解析
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考研数学二

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