设A是3阶非零矩阵，满足A2=A，且A≠B，则必有 ( )

admin2018-08-22 45

问题设A是3阶非零矩阵，满足A²=A，且A≠B，则必有 ( )

选项 A、r(A)=1
B、r(A—B)=2
C、[r(A)一1][r(A-E)-2]=0
D、[r(A)一1][r(A-E)一1]=0

答案D

解析 A是3阶非零矩阵，则A≠O，r(A)≥1．又A≠E，A—E≠O，r(A—E)≥1．
因A²=A，即A(A—E)=O，得r(A)+r(A—E)≤3，且
1≤r(A)≤2，1≤r(A—E)≤2．
故矩阵A和A—E的秩r(A)和r(A—E)或者都是1，或者一个是1，另一个是2(不会是3，也不会是0，也不可能两个都是2．故两个中至少有一个的秩为1)．
故(A)，(B)，(C)均是错误的，应选(D)．

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