设a1=1，当n≥1时证明：数列{an}收敛，并求其极限值．

admin2015-08-14 99

问题设a₁=1，当n≥1时

证明：数列{a_n}收敛，并求其极限值．

选项

答案[*]．f(x)在[0，+∞)上单增．由a₁=1＞0，可得[*] 故a₁＞a₂＞0，又由于函数f(x)在[0，+∞)上单调增加，所以有f(a₁)＞f(a₂)＞f(0)=0．再根据递归定义式a_n+1=f(a_n)，可得a₂＞a₃＞0．类似地可以继续得到：a₁＞a₂＞a₃＞a₄＞…＞a_n＞a_n+1＞…＞0，于是可知数列{a_n}单调减少且有下界0，所以数列{a_n}收敛．设其极限为A(A≥0)，即[*]=A，则必有[*]=A．在a_n+1=f(a_n)两边同取n→∞时的极限，根据函数f(x)的连续性，有A=f(A)，即A=[*]

解析

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