[2015年] 计算二重积分x(x+y)dxdy，其中 D={(x，y)∣x2+y2≤2，y≥x2}．

admin2019-05-10 42

问题 [2015年] 计算二重积分

x(x+y)dxdy，其中
D={(x，y)∣x²+y²≤2，y≥x²}．

选项

答案求出曲线x²+y²=2与y=x²的交点，绘出D的图形如图1．5．1．7所示，分析区域D的对称性、被积函数或其子函数的奇偶性，再按一般方法计算． [*] x²+y²=2，y=x²，由y+y²=2得交点的纵坐标为y=1，于是y=x²=1，故x=±1．显然区域D关于y轴对称：D=D₁∪D₂，其中D₁={(x，y)∣0≤x≤1，x²≤y≤[*]}，且xy为x的奇函数，故[*]xydxdy=0．于是 I=[*]x(x+y)dxdy=2[*](x²+xy)dxdy=2[*]x²dxdy =2∫₀¹x²dx[*]dy=2∫₀¹x²[*]dx－2∫₀¹x⁴dx =2∫₀¹x²[*] =4∫₀^π/2sin²tcostdt一[*]=4∫₀^π/2sin²tcos²tdt一[*] =4∫₀^π/2sin²t(1一sin²t)dt—[*]=4∫₀^π/2sin²tdt－4∫₀^π/2sin⁴tdt一[*] =[*] =[*].

解析

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考研数学二

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