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[2015年] 计算二重积分x(x+y)dxdy,其中 D={(x,y)∣x2+y2≤2,y≥x2}.
[2015年] 计算二重积分x(x+y)dxdy,其中 D={(x,y)∣x2+y2≤2,y≥x2}.
admin
2019-05-10
24
问题
[2015年] 计算二重积分
x(x+y)dxdy,其中
D={(x,y)∣x
2
+y
2
≤2,y≥x
2
}.
选项
答案
求出曲线x
2
+y
2
=2与y=x
2
的交点,绘出D的图形如图1.5.1.7所示,分析区域D的对称性、被积函数或其子函数的奇偶性,再按一般方法计算. [*] x
2
+y
2
=2,y=x
2
,由y+y
2
=2得交点的纵坐标为y=1,于是y=x
2
=1,故x=±1.显然区域D关于y轴对称:D=D
1
∪D
2
,其中D
1
={(x,y)∣0≤x≤1,x
2
≤y≤[*]},且xy为x的奇函数,故[*]xydxdy=0.于是 I=[*]x(x+y)dxdy=2[*](x
2
+xy)dxdy=2[*]x
2
dxdy =2∫
0
1
x
2
dx[*]dy=2∫
0
1
x
2
[*]dx-2∫
0
1
x
4
dx =2∫
0
1
x
2
[*] =4∫
0
π/2
sin
2
tcostdt一[*]=4∫
0
π/2
sin
2
tcos
2
tdt一[*] =4∫
0
π/2
sin
2
t(1一sin
2
t)dt—[*]=4∫
0
π/2
sin
2
tdt-4∫
0
π/2
sin
4
tdt一[*] =[*] =[*].
解析
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考研数学二
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