[2015年] 计算二重积分x(x+y)dxdy,其中 D={(x,y)∣x2+y2≤2,y≥x2}.

admin2019-05-10  24

问题 [2015年]  计算二重积分x(x+y)dxdy,其中
D={(x,y)∣x2+y2≤2,y≥x2}.

选项

答案求出曲线x2+y2=2与y=x2的交点,绘出D的图形如图1.5.1.7所示,分析区域D的对称性、被积函数或其子函数的奇偶性,再按一般方法计算. [*] x2+y2=2,y=x2,由y+y2=2得交点的纵坐标为y=1,于是y=x2=1,故x=±1.显然区域D关于y轴对称:D=D1∪D2,其中D1={(x,y)∣0≤x≤1,x2≤y≤[*]},且xy为x的奇函数,故[*]xydxdy=0.于是 I=[*]x(x+y)dxdy=2[*](x2+xy)dxdy=2[*]x2dxdy =2∫01x2dx[*]dy=2∫01x2[*]dx-2∫01x4dx =2∫01x2[*] =4∫0π/2sin2tcostdt一[*]=4∫0π/2sin2tcos2tdt一[*] =4∫0π/2sin2t(1一sin2t)dt—[*]=4∫0π/2sin2tdt-4∫0π/2sin4tdt一[*] =[*] =[*].

解析
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