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  3. 若x＞一1．证明： 当0＜α＜1时，有(1+x)α≤1+ax； 当α＜0或α＞1时，有(1+x)α≥1+αx．

若x＞一1．证明： 当0＜α＜1时，有(1+x)α≤1+ax； 当α＜0或α＞1时，有(1+x)α≥1+αx．

admin2018-09-20  52
问题 若x＞一1．证明：
当0＜α＜1时，有(1+x)α≤1+ax；
当α＜0或α＞1时，有(1+x)α≥1+αx．
选项
答案当x=0时，原不等式左边=1=右边，成立．当x≠0时，令f(x)=(1+x)a，则有f’(x)=α(1+x)α-1，f"(x)=α(α一1)(1+x)α-2． 由f(x)的泰勒展开式 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]，ξ介于0，x之间， 可知当x＞一1，0＜α＜1时，α(α一1)＜0，1+ξ＞0，故[*]，所以f(x)≤f(0)+f’(0)x，即 (1+x)α≤1+αx 同理可证，当x＞一1，α＜0或α＞1时，有(1+x)α≥1+αx．
解析
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考研数学三

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