2. 考研
  3. 求功： (Ⅰ)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功? (Ⅱ)半径为尺的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?

求功： (Ⅰ)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功? (Ⅱ)半径为尺的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?

admin2018-06-27  69
问题 求功：
(Ⅰ)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功?
(Ⅱ)半径为尺的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?
选项
答案(Ⅰ)(微元法)．以球心为原点，x轴垂直向上，建立坐标系(如图3．5)． [*]取下半球中的微元薄片，即[*]取小区间[x，x+dx][*][-1，0]，相应的球体小薄片，其重量(即体积)为π(1-x2)dx，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1+x)，故需做功dw1=(1+x)π(1-x2)dx．因此，对下半球做的功 w1=∫-10π(1+x)(1-x2)dx． [*]取上半球中的微元薄片，即V取小区间[x，x+dx][*][0，1]，相应的小薄片，其重量为π(1-x2)dx，当球从水中移出时，此薄片移动距离为1．所受力为重力，故需做功dw2=π(1-x2)dx．因此，对上半球做的功 w2=∫01π(1-x2)dx． 于是，对整个球做的功为 w=w1+w2=∫-10π(1+x)(1-x2)dx+∫01π(1-x2)dx =∫-11π(1-x2)dx+∫-10πx(1-x2)dx [*] (Ⅱ)建立坐标系如图3．6．取x为积分变量，x∈[0，R]． [*][x，x+dx]相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为 π(R2-x2)dx， 又比重ρ=1，于是把这层水抽出需做功dw=πx(R2-x2)dx．因此，所求的功 w=∫0Rπx(R2-x2)dx [*]
解析
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考研数学二

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