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  3. 设A是n阶矩阵，(E+A)x=0只有零解，则下列矩阵间乘法不能交换的是( )

设A是n阶矩阵，(E+A)x=0只有零解，则下列矩阵间乘法不能交换的是( )

admin2014-04-16  43
问题 设A是n阶矩阵，(E+A)x=0只有零解，则下列矩阵间乘法不能交换的是(    )
选项 A、A—E；A+E．
B、A-E；(A+E)-1．
C、A—E；(A+E)*．
D、A—E；(A+E)T．
答案D
解析 法一  因(A+E)(A一E)=A2一E=(A—E)(A+E)，(*)故A+E，A—E左、右可交换，故A成立．(*)式左、右两边各乘(A+E)-1，得(A—E)(A+E)-1=(A+E)-1(A—E)，(**)故(A+E)-1，A—E可交换，故B成立．(**)式两边乘｜A+E｜(数)，得(A—E)(A+E)*=(A+E)*(A—E)，故(A+E)*，A—E可交换．故C成立．由排除法，知应选D，即(A+E)T，A—E不能交换．
法二  (A+E)(A—E)=(A+E)(A+E一2E)=(A+E)2一2(A+E)=(A+E一2E)(A+E)=(A—E)(A+E)．同理(A+E)-1(A—E)=(A+E)-1(A+E一2E)=(A+E)-1(A+E)一2(A+E)-1=(A+E)(A+E)-1一2(A+E)-1=(A+E一2E)(A+E)-1=(A—E)(A+E)-1．同理(A+E)*(A—E)=(A—E)(A+E)*．故应选D．
法三  D不成立，因ATA≠AAT，或举出反例，如取而故(A+E)T(A一E)≠(A—E)(A+E)T，即D不成立．
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考研数学二

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