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  3. 已知矩阵有三个线性无关的特征向量，求a的值，并求An．

已知矩阵有三个线性无关的特征向量，求a的值，并求An．

admin2014-07-22  63
问题 已知矩阵有三个线性无关的特征向量，求a的值，并求An．
选项
答案由矩阵A的特征多项式[*]可知矩阵A的特征值是1，1，2．因为A有3个线性无关的特征向量，故A可化为相似对角矩阵．对应重根λ1=λ2=1，应该有2个线性无关的特征向量．于是r(1.E—A)=3—2=1，即r(E—A)=1．又[*]故a=1．由(E—A)x=0，即[*]得基础解系α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，0)T．由(2E—A)x=0，即[*]得基础解系α3=(2，一1，3)T．那么令P=(α1,α2,α3)，有[*]从而A=PAP-1．于是An=PAnP-1.[*]
解析
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考研数学二

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