已知矩阵有三个线性无关的特征向量，求a的值，并求An．

admin2014-07-22 47

问题已知矩阵

有三个线性无关的特征向量，求a的值，并求Aⁿ．

选项

答案由矩阵A的特征多项式[*]可知矩阵A的特征值是1，1，2．因为A有3个线性无关的特征向量，故A可化为相似对角矩阵．对应重根λ₁=λ₂=1，应该有2个线性无关的特征向量．于是r(1.E—A)=3—2=1，即r(E—A)=1．又[*]故a=1．由(E—A)x=0，即[*]得基础解系α₁=(1，0，1)^T，α₂=(0，1，0)^T．由(2E—A)x=0，即[*]得基础解系α₃=(2，一1，3)^T．那么令P=(α₁,α₂,α₃)，有[*]从而A=PAP^-1．于是Aⁿ=PAⁿP^-1.[*]

解析

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