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  3. 设有齐次线性方程组 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

设有齐次线性方程组 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

admin2017-04-24  93
问题 设有齐次线性方程组

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．
选项
答案对方程组的系数矩阵作初等行变换，有 [*] 当a=0时，r(A)=1＜4，故方程组有非零解，其同解方程组为 x1+x2+x3+x4=0， 由此得基础解系为 η1=(一1，1，0，0)T，η2=(一1，0，1，0)T，η3=(一1，0，0，1)T， 于是所求方程组的通解为 x=k1η1+k2η2+k3η3，其中k1，k2，k3为任意常数． 当a≠0时， [*] 可知a=一10时，r(A)=3＜4，故方程组有非零解，其用自由未知量表示的通解为 x2=2x1，x3=3x1，x4=4x1，x1任意 由此得基础解系为 η=(1，2，3，4)T， 于是所求方程组的通解为x=kη，其中k为任意常数．
解析 当方程组有无穷多解时，要求出用基础解系表示的通解，关键是先要求出用自由未知量表示的通解，然后改写通解的形式得到所要求的通解．任意选取自由未知量的一般原则是：先要选取约束未知量，设系数矩阵Am×n的秩r＜n，则在系数矩阵中必存在r阶非零子式，与这个非零子式对应的r个未知量就可选作为约束未知量，相应地，其它的n一r个未知量自然就是自由未知量了，解出由自由未知量表示约束未知量的表达式，就是用自由未知量表示的通解．例如，本题当a=一10时，由A化成的阶梯形矩阵D可知r(A)=3．D的右下角的3阶子式非零，因而对应的未知量x2，x3，x4就可作为约束未知量，从而x1就是自由未知量，解出用自由未知量表示的通解：x2=2x1，x3=3x1，x4=4x1，因自由未知量只有一个，因而就令x1=1，即得基础解系η=(1，2，3，4)T．
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考研数学二

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