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设有齐次线性方程组 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
设有齐次线性方程组 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
admin
2017-04-24
44
问题
设有齐次线性方程组
试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
选项
答案
对方程组的系数矩阵作初等行变换,有 [*] 当a=0时,r(A)=1<4,故方程组有非零解,其同解方程组为 x
1
+x
2
+x
3
+x
4
=0, 由此得基础解系为 η
1
=(一1,1,0,0)
T
,η
2
=(一1,0,1,0)
T
,η
3
=(一1,0,0,1)
T
, 于是所求方程组的通解为 x=k
1
η
1
+k
2
η
2
+k
3
η
3
,其中k
1
,k
2
,k
3
为任意常数. 当a≠0时, [*] 可知a=一10时,r(A)=3<4,故方程组有非零解,其用自由未知量表示的通解为 x
2
=2x
1
,x
3
=3x
1
,x
4
=4x
1
,x
1
任意 由此得基础解系为 η=(1,2,3,4)
T
, 于是所求方程组的通解为x=kη,其中k为任意常数.
解析
当方程组有无穷多解时,要求出用基础解系表示的通解,关键是先要求出用自由未知量表示的通解,然后改写通解的形式得到所要求的通解.任意选取自由未知量的一般原则是:先要选取约束未知量,设系数矩阵A
m×n
的秩r<n,则在系数矩阵中必存在r阶非零子式,与这个非零子式对应的r个未知量就可选作为约束未知量,相应地,其它的n一r个未知量自然就是自由未知量了,解出由自由未知量表示约束未知量的表达式,就是用自由未知量表示的通解.例如,本题当a=一10时,由A化成的阶梯形矩阵D可知r(A)=3.D的右下角的3阶子式非零,因而对应的未知量x
2
,x
3
,x
4
就可作为约束未知量,从而x
1
就是自由未知量,解出用自由未知量表示的通解:x
2
=2x
1
,x
3
=3x
1
,x
4
=4x
1
,因自由未知量只有一个,因而就令x
1
=1,即得基础解系η=(1,2,3,4)
T
.
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