二次型f(x1,z2,z3)一z;+ax;+z;一4x1 z2—8x1 z3—4x2.273经过正交变换化为标准形5y12+by22+4y32,求: (1)常数a,b; (2)正交变换的矩阵Q.

admin2017-09-15  75

问题 二次型f(x1,z2,z3)一z;+ax;+z;一4x1 z2—8x1 z3—4x2.273经过正交变换化为标准形5y12+by22+4y32,求:
    (1)常数a,b;
    (2)正交变换的矩阵Q.

选项

答案(1)令[*],则f(χ1,χ2,χ3)=XTAX 矩阵A的特征值为λ1=5,λ2=6,λ3=-4, [*] 从而A=[*],特征值为λ1=λ2=5,λ3=-4. (2)将λ1=λ2=5代入(λE-A)X=0,即(5E-A)X=0, 由5E-A=[*] 得λ1=λ2=5对应的线性无关的特征向量为 [*] 将λ3=-4代入(λE-A)X=0,即(4E+A)X=0。 由4E+A=[*] 得λ3=-4对应的线性无关的特征向量为 [*] 所求的正交变换矩阵为Q=[*]

解析
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